Общие замечания. В настоящее время в микроэлектронике СВЧ широкое применение получили интегральные схемы. Основу таких схем составляют, как правило, отрезки микрополосковых линий (МПЛ) в виде тонких слоев металла, нанесенных на листы диэлектрика (подложки) с диэлектрической проницаемостью 10 и более. (На практике в МПЛ применяют подложки и с меньшей диэлектрической проницаемостью, например из плавленого кварца (8=3,78)). Наиболее распространены экранированные несимметричные МПЛ (рис. 1.1). МПЛ используются во всем диапазоне СВЧ. По сравнению с полыми волноводами МПЛ обладают рядом недостатков - имеют более высокие погонные потери и сравнительно низкую передаваемую мощность (средняя мощность - десятки ватт, импульсная - единицы киловатт). Кроме того, открытые МПЛ излучают энергию в пространство, из-за чего могут возникать нежелательные электромагнитные связи.

Но МПЛ обладают и важными достоинствами. Они имеют малые габариты и массу, дешевы в изготовлении, технологичны и удобны для массового производства методами интегральной технологии, что позволяет реализовать на пластине из металлизированного с одной стороны диэлектрика целые узлы и функциональные модули в микрополосковом исполнении.

До последнего времени анализ и расчет параметров МПЛ проводились в квазистатическом приближении, т. е. в предположении, что в МПЛ распространяется лишь Т-волна. Такое приближение позволяет получить удовлетворительные результаты только в наиболее длинноволновой части диапазона СВЧ, когда длина волны значительно превышает поперечные размеры линии. С повышением частоты, по мере продвижения в область сантиметровых волн и освоения миллиметровых волн, квазистатический метод дает все большую погрешность. Это связано с тем, что не учитываются дисперсионность линии (зависимость параметров от частоты) и наличие в ней волн высших типов. По-

этому для строгого анализа и расчета параметров МПЛ, удовлетворяющих потребностям практики, необходимо использовать электродинамический подход и математические модели, адекватно отражающие физические процессы в реальной МПЛ.

Элементарная ячейка. Постановка задачи. Микрополосковую линию, как и любую планарную структуру, можно представить

Рис. 1.1. Поперечное сечение экранированной несимметричной МПЛ

Рис. 1.2. Поперечное сечение элементарной ячейки пла-нарной структуры

в виде сочетания элементарных (или ключевых) ячеек (рис. 1.2). Легко видеть, что реальная линия (см. рис. 1.1) может быть составлена из двух элементарных ячеек. Объединение ячеек в данном случае эквивалентно размещению в плоскости х=0 электрической или магнитной стенки в зависимости от того, волна какого типа нас интересует. Таким образом, накладывая на границах элементарной ячейки те или иные граничные условия, можно получать модели различных полосковых структур с определенными типами волн.

Будем считать, что полосковый проводник обладает идеальной проводимостью, а толщина его равна нулю. Абсолютные проницаемости сред, между которыми он размещен, равны eat, \i-ai и 8а2, Ца2 соотвбтственно. Ззкон изменения составляющих электромагнитных полей собственных волн от времени / и продольной координаты Z предполагается в форме ехр [j (ш/-pz)], где р -подлежащая определению фазовая постоянная собственной волны МПЛ; (О - круговая частота; j -мнимая единица.

Решение задачи сводится к интегрированию уравнения Гельм-гольца для каждой из частичных областей, входящих в рассматриваемую ячейку:

ArU+kljUO, (1.1)

где и=Ег или Hz - продольные составляющие напряженности электрического или магнитного поля; Ат - поперечный оператор Лапласа; k%f=koei[ii-p (/=1, 2,...); ко=(лЧо1ю; ео, Хо -проницаемости вакуума (8о=8,85-Ю- Ф/м; цо==4я-10- Гн/м); 8/, ц/ - относительные проницаемости сред.

Поля собственных волн должны удовлетворять граничным условиям: касательная составляющая О на электрических

стенках; касательная составляющая =0 на магнитных стенках; условиям непрерывности касательных составляющих на границах раздела сред; условиям Мейкснера на ребрах полоскового проводника.

Условия иа концах отрезка. Ребро полоскового проводника представляет собой геометрическую сингулярность. Электромагнитное поле имеет здесь особенность. Вычислительные алгоритмы, учитывающие эту особенность, обладают высокой эффективностью и быстрой сходимостью. Учет особенностей обеспечивается путем использования специальных базисов для представления полей или токов на границах областей, имеющих точки геометрической сингулярности. Эти базисы представляют собой полные системы функций, каждая из которых удовлетворяет двум условиям:

1) условию Мейкснера на том конце отрезка проводника, где электромагнитное поле имеет особенность;

2) требуемому граничному условию на другом его конце, где нет особенности.

Условия Мейкснера в точке геометрической сингулярности (точка О на рис. 1.3) заключаются в том, что каждая функция фп (х) системы функций {ф } при д;->-0 должна иметь определенный порядок роста или убывания. При учете только верхней границы порядка сингулярности поля вблизи ребра условия Мейкснера имеют вид

Рнс. 1.3. К условиям Мейкснера на ребре

<р(.х)=0(л о) при

(1.2)

где ао=то-1 для Ех и Нх, ао=то для Ег й Н; то - наименьший положительный корень характеристического уравнения, методы составления и решения которого рассмотрены в статье Г. И. Веселова, Н. И. Платонова, Е. С. Слесарева (Радиотехника. Т. 35. 1980. № 4). При учете других положительных корней характеристического уравнения алгоритм сходится быстрее.

В нашем случае (см. рис. 1.2) особенность представляет ребро бесконечно тонкого проводника, лежащего в плоскости раздела двух сред (01=02=0 на рис. 1.3). При этом для х==0 Тп=/а + л, где л=0, 1, 2,...

На втором конце отрезка [О, 1] в точке х=1 граничные условия для разных составляющих полей будут различными. Так, в базисе {Wn}, используемом для разложения Ег, каждая функция в точке х= 1 должна быть равна нулю. При выборе базиса {фп} для разложения Ех в точке х=1 необходимо обеспечить равенство нулю первых производных функций. Таким образом, для улучшения сходимости алгоритма и повышения его устой-

чивости на базисы {Wn} и {ф } накладывают условие их согласованности, вытекающее из соотношения между Ez и Ех:

<f (x)=A64r (x)/6x. (1.3)

Примером таких базисов, обеспечивающих достаточно хорошую сходимость и устойчивость алгоритма, являются полиномы Чебышева первого и второго рода:

(x)=-y=LT, (u), W (x)=VlUn+i(.u), (1.4)

где и=1-х; Тгпи)-полином Чебышева первого рода порядка 2п; f72n+i( )- полином Чебышева второго рода порядка 2п+1.

Дисперсионное уравнение экранированной МП Л. При решении задачи воспользуемся методом частичных областей. В соответствии с этим методом разобьем элементарную ячейку (см. рис. 1.2) на две области: 1) 0<y<yi; 0<д;<с/2; 2) У1<уу2; Оха/2. Полосковый проводник нулевой толщины расположен на границе раздела областей.

Продольные составляющие полей собственных типов волн в областях 1 и 2 будем отыскивать в виде рядов, почленно удовлетворяющих уравнению (1.1) и граничным условиям на поверхностях, ограничивающих ячейку:

H,i==BiXh{x)Yhj {y),

(1.5)

где Aim, B/m - неизвестные коэффициенты; /=1, 2 -номер частичной области. В общем случае эти области могут быть многослойными. От числа слоев в каждой области и их параметров зависит вид функций Хе (д:), Xhm(x), ¥е,т{у), Yh]m{y). В простейшем случае однослойных областей

cos sin

где кхт-тя/а; ky,m=k%]-kxm; bi=0; Ьчуч; k%iweaiHa]-

В выражениях для Хвт и Xhm нижние строки берутся в случае расположения в плоскости д;=0 электрической стенки, а верхние - в случае магнитной стенки. Если в плоскости х=а/2 находится электрическая стенка, то т берется четным, а если магнитная - нечетным. Аналогично, в выражениях для Ye/m и Yhjm нижние строки берутся в случае расположения в плоско-

стях у=0 и у=У2 электрических стенок, а верхние - в случае магнитных стенок.

Поперечные составляющие полей легко определяются через продольные с помощью уравнений:

дх dE,j

ду J

дх дЕг!

дх ду

dH,j , дЕг/

(1.7)

Границу раздела между областями 1 и 2 будем рассматривать как вырожденную частичную область iy==yi; присвоив ей номер 0. Часть этой области, свободную от полос-кового проводника, будем называть окном связи {у=уи ay/2

Существует несколько вариантов .решения поставленной задачи.

1. Используется разложение касательных составляющих полей на окне связи по указанным базисам. Граничные условия в плоскости y=yi в этом случае имеют вид:

О при О < л: < да/2, при ву/2<А-<а/2;

Н=И=Н при ву/2<А:<а/2;

О при 0<А:<да/2, £ 0 при w/2xa/2;

xix2=xo при да/2 < л; <а/2.

(1.8) (1.9) (1.10)

(1.11)

2. Применяется разложение продольного и поперечного токов проводимости на полосковом проводнике по аналогичным базисам. Система граничных условий в плоскости y=yi при этом может быть записана в виде

/гг2 при -20/2 < л: < а/2, О при 0<.х<да/2;

t)jr при О < л: < да/2.

(1.12)

0 при да/2 < л: < с/2;

Е == (2 при да/2 < л: < а/2, (о при О < л: < да/2;

riz при О < л: < да/2, О при W/2ха/2.

(1.12)

где г]х и t]z - плотность поперечного и продольного поверхностного токов проводимости.

3. в ряде случаев используют комбинацию вариантов 1 и 2.

Рассмотрим подробнее вариант 1 решения задачи. Представим касательные составляющие полей на окне связи в виде рядов, почленно удовлетворяющих требуемым граничным условиям на концах интервала (ш/2, а/2):

оо оо

ЕхО М = 2 Сп<ееп (Х), Его W = 2 еп М.

ft-0 ft=0

(1.13)

где Cn, D , Fk, Ok - неизвестные амплитудные коэффициенты; {феп}, {еп}, {фл*}. {Чл*} - полные системы функций, учитывающие свойства искомых полей на интервале w/2xa/2.

Подставляя выражения для полей (1.6), (1.7) и (1.13) в граничные условия (1.8)--(1.11) и используя свойство ортогональности собственных функций областей / и 2 на интервале 0д:а/2, а также свойство ортогональности полиномов Чебышева на окне связи, легко получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно амплитудных коэффициентов в представлении полей:

Атеш (.yi) = Л2пУе2т Ш>

2 Blmyhlm (yi) hm = 2 mYhim (yi) hm.

[Аш-1Уе\ (yi) - Bihmyhim Ш акт =

(1.И) 11